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 기수정렬(Least Significant Digit 방식) 관련 글들을 찾아보면 개념을 쉽게 설명하기 위해 십진수 단위를(base 10) 사용한 것들이 많은데 실제로 이것을 구현하면 생각보다 느린 것을 볼 수 있다. 나눗셈 연산과 나머지연산이 수행되기 때문이다.  예를 들어 100의 자리에서 기수정렬할 단계를 보면, (현 상태에서 m은 100이라고 가정한다.)

arr[i]/m%10    

위와 같이 / 연산과 % 연산이 사용된다.

 이러한 문제를 개선하기 위해 버킷의 개수를 2의 거듭제곱으로 하면 속도가 빠른 비트연산을 사용할 수 있다. 버킷의 개수를 8로 하면 위 연산식이 아래와 같이 된다. (현 상태에서 m은 64라고 가정)

(arr[i]>>m)&7

2의 거듭제곱으로 나누었을 때의 나머지는, 굳이 나누어서 계산해볼 필요 없이 해당 위치의 비트만 AND연산으로 추출하면 되는 것이다.

구현

 아래 코드는 0부터 99,999,999까지의 정수 데이터들을 정렬할 수 있는 기수정렬(base 8) 알고리즘을 코드로 구현한 것이다. 

       for(int j=0; j<8; ++j) {
            counts[j] = 0;
        }
     
        for(int j=0; j<n; ++j) {
            digit = (arr[j]>>i*3)&7;
            bucket[digit][counts[digit]++] = arr[j];
        }
    
        for(int j=0; j<8; ++j) {
            for(int k=0; k<counts[j]; ++k) {
                arr[idx++] = bucket[j][k];
            }
        }
    }

비트시프트 연산을 보면, i는 데이터를 8진수로 나타냈을 때 특정 자리의 숫자를 얻을 때 사용된다. i를 8이 될때까지만 반복시키는 이유는  으로, 99,999,999를 8진수로 나타낼 수 있는 가장 큰 자릿수가 8이기 때문이다.

수행시간 분석

 base 8 기수정렬에서 전체 데이터의 양을 N개라고 했을 때 버킷의 크기는 bucket[8][N]이다. base 8 대신 base 4나 base 2를 사용하면 메모리 사용량은 각각 2배, 4배 줄어들게 된다. 반면, 기수정렬의 시간복잡도가 O(dN)이므로, 수행시간은 더 늘어난다. (d는 해당 base에서 데이터의 최대 자릿수이다.) 표 1은 내림차순으로 정렬된 100만개 ~ 500만개 데이터를 오름차순으로 정렬했을 때 각 알고리즘의 수행 시간(ms)이다. 표 2는 랜덤함수로 생성한 무작위 데이터를 오름차순으로 정렬했을때의 결과이다.

표 1

표 2

 표 1의 결과를 그래프로 나타내 보면 다음과 같다.

 base 8 대신 16이나 32를 사용하면 메모리 사용량이 늘어나고, 속도가 약간 줄어들겠지만, 값 복사시간이 기본적으로 존재하기 때문에 속도가 줄어드는 데에는 한계가 있다. 수행시간이 카운팅 정렬을 사용했을때 이하로 떨어지지는 않을 것이다.

출처 

Koreatech Online Judge(링크)

문제이해 

양의 정수를 1부터 일렬로 나열했을 때 (ex 123456789101112...) P번째에 오는 숫자를 구하는 문제이다.

문제접근 

자리수가 1개인 수(1~9), 2개인 수(10~99), 3개인 수(100~999), ... 를 구분하여 계산한다

구현 

아래와 같은 규칙이 있다.

- 자리수가 1개인 수를 모두 썼을 때는 길이가 9인 문자열이 생성된다.

- 자리수가 2개인 수를 모두 썼을 때는 길이가 90*2 = 180 인 문자열이 생성된다.

- 자리수가 3개인 수를 모두 썼을 때는 길이가 900*3 = 2700인 문자열이 생성된다.

만약 P 값으로 2889가 입력된다면, 그 수는 9+180+2700 이므로 세 자리 숫자 중 가장 마지막에 오는 숫자(999)일 것이다.

같은 방법으로, 임의의 P가 있을 때 이 수가 몇 자리 수로 이루어진 정수까지 썼을 때 나온 길이인지 계산할 수 있으며, 해당 자리 수를 가진 수 중 가장 작은 수까지 썼을 때 문자열의 길이도 구할 수 있다.

1부터 n까지 수를 일렬로 나열했을 때 문자열의 길이를 f(n)이라 한다면,

예를 들어, f(1000)과 f(10000)을 미리 계산할 수 있으므로, P가 이 사이의 값이라면 P는 네 자리 수까지 썼을 때의 값이다. 이 P값에서 f(1000)을 뺀 후 4로 나누고, 1000을 더하면, n값을 알 수 있는 것이다.  

실행결과 

코드
https://github.com/tibyte/algorithm-problems/blob/master/koreatech/1068/1068.cpp

두 직사각형이 평면상에 놓여져 있을 때 아래와 같이 7가지로 나누어 생각해 볼 수 있다.

회색 사각형을 기준으로

1. 한쪽 귀퉁이를 덮음

2. 한 변을 덮음

3. 자신의 한 변이 모두 덮임

4. 교차

5. 자신이 포함됨

6. 다른 사각형을 모두 덮음

7. 겹치지 않음

각각의 경우를 나누어 처리할 수도 있으나

1~6의 겹치는 영역(직사각형)을 보면 모두 공통적인 특징이 있다.

겹치는 영역(Intersection)의

왼쪽 변은, 기존 두 사각형의 왼쪽 변 중에서 더 오른쪽에 있는 것

오른쪽 변은, 기존 두 사각형의 오른쪽 변 중에서 더 왼쪽에 있는 것

위쪽 변은, 기존 두 사각형의 위쪽 변 중에서 더 아래쪽에 있는 것

아래쪽 변은, 기존 두 사각형의 아래쪽 변 중에서 더 위쪽에 있는 것

이 된다는 것을 확인할 수 있다.

화면 좌측상단이 원점인 좌표계를 기준으로  코딩할 때 사각형 구조체를 x, y, width, height로 정의한다면, 겹치는영역의

(왼쪽 변) x는 기존 두 사각형의 x중에서 큰 것
(오른쪽 변) width는 기존 두 사각형의 x+width 중에서 작은 것 - x좌표

(위쪽 변) y는 기존 두 사각형의 y중에서 큰 것

(아래쪽 변) height는 기존 두 사각형의 y+height 중에서 작은 것 - y좌표

으로 하면 된다.

-x, -y 가 붙어있는 이유는 해당 속성이 각각 너비와 높이이기 때문.

아래는 Javascript 코드로 작성해 본 것이다.

코드를 보면 두 사각형이 겹치지 않은 경우를 걸러내는 부분이 추가되었다.

이 문제에 대해 조금 다르게 생각해 볼 수도 있는데,

너비가 w이고 높이가 h인 screen이 있을 때

임의의 점에 대하여

그 점이 screen 안에 있을 때는 그대로 표시하고,

screen 밖에 있을 때는 screen의 안쪽 변 끝에 두는 간단한 식이 있다.

x' = min(w, max(0, x))

y' = min(h, max(0, y))

이 식을 한 사각형의 4 꼭지점(초록색)에 각각 적용한다면,

두 사각형의 겹치는 부분이 만드는 새로운 사각형의 4 꼭지점(파란색)을 얻을 수 있다.

연관글 :

자바스크립트로 구현한 결과는 여기에 올림.