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이진 최대공약수 알고리즘(binary GCD algorithm은 스테인 알고리즘(Stein's algorithm)이라고도 하며 비트연산을 이용하여 컴퓨터에서 최대공약수를 (나머지연산을 사용하는 유클리드 알고리즘보다) 빠르게 구할 수 있는 알고리즘이다.

이 알고리즘으로 36과 24의 최대공약수를 구하는 예시를 보면 다음과 같다.

36 → 18 →9 →9 →6 →3 →3 

24 → 12 →6 →3 →3 →3 →0

여기서 이런 규칙을 볼 수 있다.

- 두 수가 짝수일 때는 2로 나눈다.

- 한 수만 짝수일 때는 그 수를 2로 나눈다.

- 두 수가 홀수일 때는 큰 수에서 작은 수를 뺀다.

- 0이 되는 수가 있으면 종료한다.

여기서 최대공약수를 얻는 방법은

두 수가 짝수여서 2로 나누는 계산을 할 때마다, 변수 a를 1씩 증가시킨다.

그리고 마지막에 남은 0이 아닌 수를 b라고 하면

를 계산하는 것이다.

두 수가 모두 2로 a번 나눠진다는 것은

두 수의 공약수에 2가 a번 포함되어있기 때문이라고 생각하면 이해하기가 쉽다.

36과 24의 경우에서, 마지막에 3이 남았다는 것은

바로 전 단계에 두 수에 모두 3이 포함되어있는 것이기 때문에 이 역시 곱해준다(위 식에서는 b)

규칙에서 두 수가 홀수일 때 값을 빼는 것은 유클리드 알고리즘과 관련있는 부분이다.

C언어 코드

int calcGcd(int n1, int n2)
{
    int exp = 0;
    int n;

    while (((n1|n2)&1) == 0) {
        ++exp;
        n1 >>= 1;
        n2 >>= 1;
    }

    while (n1!=0 && n2!=0) {
        while ((n1&1) == 0)
            n1 >>= 1;
        while ((n2&1) == 0)
            n2 >>= 1;

        if (n1 > n2)
            n1 = n1-n2;
        else
            n2 = n2-n1;
    }
    if (n1!=0)
        n = n1;
    else
        n = n2;

    return n<<exp;

}

관련글 : 유클리드 호제법(http://www.tibyte.kr/224)

유클리드 호제법(Euclidean algorithm)으로 최대공약수를 구할 수 있다.

두 정수 m과 n (m>n)의 최대공약수를 구하는 문제를

m-n과 n의 최대공약수를 구하는 문제로 줄일 수 있다.

왜냐하면 m과 n의 최대공약수를 G라 하면 다음과 같이 나타낼 수 있는데

m = Ga

n = Gb

m-n = G(a-b)와 같이 묶을 수 있기 때문이다. (a와 b는 서로소(relatively prime))

예를 들어 94와 30이 있을 경우 아래와 같은 단계를 거쳐 문제를 줄여가면서

최대공약수인 2를 구할 수 있는 것이다.

94    30   (A)

64    30   (A)

34    30   (A)

 4     30   (A) (B)

 4     26   (B)

 4     22   (B)   

 4     18   (B)

 4     14   (B)

 4     10   (B)

 4      6    (B)

 4      2    (B)

 2      2

 2      0

위 단계에서 (A)부분과 (B)부분을  잘 보면 뺄셈 연산을 여러 번 수행한 결과가 결국 나머지 값이라는 사실을 알 수 있다. 따라서 코드로 작성할 때 나머지연산(%)을 사용하면 다음과 같이 단계를 줄일 수 있다.

94   30

 4    30

 4     2

 2     2

 2     0

아래는 C언어로 작성한 코드이다.

int gcd(int n1, int n2)
{
    int temp;
    if (n1 < n2) {
        temp = n1;
        n1 = n2;
        n2 = temp;
    }
    while (n2 != 0) {
        temp = n1%n2;
        n1 = n2;
        n2 = temp;
    }
    return n1;
}

관련글 : 이진 최대공약수 알고리즘 (http://www.tibyte.kr/225)