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점(a,b) 와 점(c,d)가 주어졌을 때, 정삼각형이 되기 위한 나머지 한 점은
P1과 P2. 2개가 존재합니다. (a,b 점과 c,d점 사이의 거리를 반지름으로 하는 두 원을 그리면 그 두 원의
교점이 P1과 P2가 됩니다.)

위의 그림과 같이 중점을 m이라 놓고 P1 = (x1,y1) , P2 = (x2,y2)라고 놓습니다.
 

그리고 아래와 같이 직각삼각형을 그렸을 때 선분PM 과 주어진 두 점을 잇는 선분이 수직이므로
아래 두 삼각형은 닮음이 됩니다.



아래쪽 삼각형에 대한 위쪽 삼각형의 닮음비가
2분의 루트3 대 1 이므로,

P1점의 x좌표는, m의 x좌표에다가 (d-b)*닮음비가 되고,
y좌표 역시 m의 y좌표에 (c-a)*닮음비가 됩니다.




P2점의 좌표도 같은방법으로 구합니다.



아래와 같이 정리가 됩니다.






또 다른 방법은
역시 두 점(a,b),(c,d)가 주어졌을때,
 다각형(x1,y1)(a,b)(c,d)가 정삼각형이므로 사잇각이 60도가 됩니다. 



여기에 삼각함수의 덧셈정리로 주어진 선분의 각도 세타를 소거해주면
좌표를 하나씩 구해나갈수 있습니다.








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